場の量子論の概略（２）



　　・　ゲージ理論とは？

　　ゲージ（物差し）原理とは、時空の座標の各点をごとに、回転や並進といった変換を施しても、その理論の式が変わらない（ゲージ不変）、という要求であり、それを満たす理論全体をゲージ理論という。通常は、単なる対称性を表わす”大局的”変換と区別して、”局所的”変換（変換のパラメーターが座標の関数である場合の変換）を、ゲージ変換という。

　　電子の場（電磁場）を考えると、実軸と虚軸を入れ替えてもその理論は変わらない。実軸と虚軸を入れ替える変換は、絶対値が １ の複素数 を掛けて位相を変えることである。この複素数を１行１列の変換行列とみなして、これを Ｕ（１）変換（対称性　→　下の＊＊参照）と呼び、この Ｕ（１）ゲージ場に対応する場は、実は 「電磁場」である。「電磁力」は、光子のやり取りを通して働く。　（→　　５．）

　　クォークの場は、陽子（ｕ、ｕ、ｄ）、中性子（ｕ、ｄ、ｄ）のように、３つの成分を持つので、３×３行列を掛けることに対して大局的にゲージ不変であり、これは ＳＵ（３）変換と呼ばれる。これを、局所的にゲージ不変とすることに伴うゲージ場が グルオンであり、「強い力」を記述する。
　　陽子、中性子の崩壊などにかかわる「弱い力」は、２×２行列を掛ける ＳＵ（２）変換に伴うゲージ理論である。

　　特殊相対性原理では、たとえば スピンを測る ｘ、 ｙ、ｚ 軸の向きをどちらにとっても良かったが、一般相対性原理を要求する、すなわち、各点で時空の軸の向きを取り替えても良いと要求するならば、その対称性に伴うゲージ場が必要となり、それが 「重力場」である。
　　したがって、自然界に存在する４つの基本的な力は、すべてゲージ場であることが知られている。


　　・　力の統一理論とは？

　　力の統一理論では、ゲージ対称性を満たすことで力の統合が可能になる。

　　電磁力については、マクスウェルの方程式　　　を、 ベクトルポテンシャル Ａ、 スカラーポテンシャル φ で表わすと、　　　　となるが、Ａ と φ は定まらないので、任意の量 ｘ を使って表わすと、　　　　となって、Ａ と φ は ｘ によって変化するが、元の式は変わらない。これを、電磁場はゲージ対称性をもつという。力の統一理論は、マックスウェルの方程式を基準としてスタートする。

　　次に、ゲージ対称性の要求から、�@ 電荷はどのような過程においても保存される、 �A 力を伝えるゲージ粒子（光子、ウィークボソン、グルオン）の質量は 0 、の条件が導かれる。しかし、弱い力を担うウィークボソンは大きな質量をもつので、条件�Aに反しゲージ対称性を破ってしまう。
　　そこで、”ゲージ対称性の自発的破れ”というメカニズムを使ってこの困難が解決された。（ｂｙ． ワインバーグとサラム）　磁性体の自発磁化は、高温では無くなり対称性が高い空間になり、低温では小磁石が自発的に一定方向を向き 対称性が破れた空間になる。それと同じように、高エネルギー状態では弱い力のゲージ粒子は質量が 0 であり、通常の低エネルギー状態では、ヒッグズ機構（1964）により 質量を担うヒッグズ粒子をやり取りして、ウィークボソンは質量を持つようになる。（ただし、ヒッグズ粒子は様々な素粒子に質量をもたらすと言われているが、未だ観測されていない。）　エネルギーが１００ＧｅＶ以上の領域では、電磁力は”原始の電磁力”、弱い力は”原始の弱い力”としてほぼ同じ大きさとなり同一レベルで扱われ、このようにして、電弱力として統合される。（１００ＧｅＶ以下では、ヒッグズ粒子の影響を受け質量を得る。）
　　この統一理論で統一された力の対称性は、　ＳＵ（２）×ＳＵ（１）　となる。

　　さらに、大統一理論では、ＳＵ（３） の強い力が統一され、エネルギーが １０¹⁶ＧｅＶ 以上で真空の相転移が起こり、光子（γ）や ３種のウィークボソン（ｗ^＋、ｗ⁻、Ｚ⁰）はもとより、強い力を担う ８種のグルオンと １２種の ｘ 粒子（クォークとレプトンの交換に関わる）の質量がすべて 0 になり、対称性 ＳＵ（５） という、より高い対称性が成立すると予想されている。
　　　　　　　
　　しかし、大統一理論によると、陽子の平均寿命は １０³²年であり、スーパーカミオカンデ（東大・宇宙線研、神岡、地下1100ｍ・５万トンの水・１万本の光電子倍増管）中の水10000トン（約１０³⁴個の陽子・中性子）は、１００個/年の陽子崩壊が起こることになるが、1996年4月からの実験では未だ観測されていない。これは、大統一理論に修正を迫るものであり、陽子の寿命を延ばすために ”超対称性”という概念が検討されている。

　　まず、荷電対称性は、通常のスピン量子数と区別して、仮想的な荷電空間での回転を”荷電スピン量子数”（＝アイソスピン）として導入し、核子の量子状態の新しい解釈とする。（中性子が −１/２、 陽子が +１/２、 π⁻、π⁰、π⁺ がそれぞれ −１、0、+１）　これは、電磁力はエネルギー、エネルギーは質量だから、陽子、中性子、３つの π 中間子の質量は異り（陽子-中性子：０．１％、π 中間子：３％の差）、荷電対称性は破れ 異なった粒子として存在するが、元々は同じ粒子であるとするものである。このように、フェルミ粒子（スピン半整数）とボーズ粒子（スピン整数）が”超粒子”という基本粒子の異なる状態であると考え、フェルミ粒子の半整数スピンを上向き、ボーズ粒子の整数スピンを下向きとする”超対称性スピン”を導入する。

　　ただし、大統一理論がどのようなゲージ対称性を持つべきかという問題には、未だ答えが出ていない。

　　これに、さらに、重力の統一を加えた統一理論が検討されているが、未だ完成度はきわめて低い。この統一理論は、宇宙のインフレーション時の４つの力の分化の仮説と相まって研究されている。





　　４．　電磁相互作用とゲージ不変性：


　　アハラノフ-ボーム効果（ＡＢ効果）の発見により、電磁場には より根源的な場であるベクトルポテンシャル Ａ が存在することが明らかになった。電子の磁気的な相互作用を記述するのに、相対論的な量子力学では、旧来のマクスウェル方程式を修正する必要がある。
　　上記の、自由ディラック方程式で、　　の置き換えを行なうと、
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ→ ： ベクトル・ポテンシャル、Φ ： スカラー・ポテンシャル 、　Ｄ→ 、Ｄｔ ： 共変微分）
　　が得られる。
　　すると、磁気モーメントとの相互作用　　が自動的に取り入れられ、磁気回転比が、　のように決まる。
　　クライン・ゴルドン方程式についても、同様の置き換えを行なうと、
　　　　　　　　　　　　　となり、電荷 ｅ をもつ複素スカラー場 Φ に対するクライン・ゴルドンの式になり、自動的に Φ の電磁相互作用が取り入れられる。

　　この置き換え　　は、”ゲージ不変性”という自然のもつ対称性に由来している。（＊　対称性については下参照）

　　電磁相互作用、強い相互作用、弱い相互作用、重力は、すべてゲージ理論として統一的に理解できる。



　　５．　Ｕ（１）ゲージ理論： （以下、自然単位系で表示）


　　Ｕ（１）変換（ユニタリー（１）対称＝複素数による回転対称）　　は、大域的な回転対称と呼び、変換した方程式の波動関数もまた解になる。しかし、変換のパラメーター Λ が座標 ｘμ に依存した実関数 Λ（ｘ） であるならば、それを”局所的な変換”、または、ゲージ変換と呼ぶ。この場合、φ が 方程式の解であっても、ｅｘｐ（−ｉΛ）φ（ｘ） は一般に解ではない。そこで、偏微分の代わりに共変微分 を導入しなければならない。 Ａμ はゲージ場（数学では”接続形式”）、ｅ は ゲージ電荷と呼ばれる。すなわち、
　　　　　　　　　　　　の変換に対し、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　とおく。
　　すると、ゲージ場 Ａμ は、共変微分がこの変換則を満たすようにゲージ変換のもとで変化する。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　この局所対称性をゲージ対称性、Λが座標による場合の φ、Ａμ の変換をゲージ変換という。
　　たとえば、クライン・ゴルドン方程式　　　は、　　となり、ゲージ変換のもとで 各項が斉次に変換される。（共変性）


　　ゲージ場の強さを、　　　として導入すると、これはゲージ変換に対して、
　　　　　　となって 不変である。
　　このゲージ場の強さ Ｆμν を用いて、古典的 Ｕ（１）ゲージ理論のゲージ場を満たす運動方程式は、

　　　　　　　　　　　　　　　 　　（ ｊν は”カレント”と呼ばれる）　　となる。

　　Ｆμν が ゲージ場 Ａμ で　　を満たすので、カレント ｊν は、連続方程式
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　を満たす必要がある。


　　この運動方程式が、電磁気学の運動方程式に対応することを示す。

　　電磁気学の場合、 Ｆμν は 電場 Ｅ と 磁場 Ｂ 、−ｅ ｊν は 電荷密度 ρｅｍ と 電流密度 ｊ ｅｍ に、
　　　　　　　　　　のように対応し、
　　ゲージ場 Ａμ は スカラーポテンシャル Φ と ベクトルポテンシャル Ａ→ に、　　のように対応する。

　　ポテンシャルと電磁場との関係は、　　から、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　のように導かれる。

　　マクスウェル方程式も、上記の運動方程式は電磁気学との対応によって書き換えられ、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　、
　　　　　　　また、　から　　となるから、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　が導かれる。

　　ゲージ電荷が Ｑ のとき、共変微分は　　 　となり、
　　　　　　　ゲージ変換による物質場は、　　
　　のように変換される。このとき 電荷のみが変化し、ゲージ場は変わっていない。 今までの議論の電子は Ｑ ＝ −１ の場合であり、 ｕ クォークは Ｑ ＝ ＋２/３、 ｄ クォークは Ｑ ＝ −１/３、 原子核は Ｑ ＝ Ｎ（原子番号）、などとなる。



　　６．　量子電磁力学：


　　電荷をもつ粒子（フェルミオン；　電子、陽電子、μ粒子、・・）の場と ゲージ場の量子である光子との相互作用を扱う。
　　 相互作用の強さは、　が目安となる。

　　１）　電子-光子散乱；　散乱過程で相互作用を２回するので、散乱振幅 α とすると、散乱断面積は となる。電子の質量 ｍｅ ＝ ０．５ＭｅＶ/ｃ2 に比べ、重心系のエネルギーの２乗　ｓ ＝ （ｐｅ ＋ ｐγ）2　が充分小さい場合、トムソン散乱、充分大きい場合、コンプトン散乱となる。
　　　　　　　　　　　
　　＊　注）　ファインマン図は、縦軸が時間、横軸が空間、反粒子は時間を逆行する粒子として表わされているが、素粒子の反応と行列要素の関係を表現するためのものであり、粒子が時間を逆行することを表わしているのではない。

　　２）　μ 粒子（ｅ＋ ＋ ｅ- → μ＋ ＋ μ-）：　電子と陽電子が反応して、μ 粒子と反μ 粒子（μ粒子は電子の質量の２００倍）を対生成する、高エネルギー過程を考える。
　　　　　　　　　　　　　
　　電子と陽電子から、電荷 ±Ｑ ｅ をもつ粒子 Ｘ とその反粒子 Ｘ− が生成する場合は、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　となる。

　　３）　ポジトロニウムの崩壊：　電子と陽電子の束縛状態であるポジトロニウムは、対消滅して ｎ 個の光子となる。ポジトロニウムは水素原子と同様に、全角運動量 ｊ、軌道角運動量 ｌ、スピン ｓ という離散的なエネルギー準位をもつ。崩壊の平均寿命は、
　　　　　　　　　　基底状態：　1Ｓ0 （ｊ ＝ 0、ｌ ＝ 0、ｓ ＝ 0）　→　２γ、　τ（２γ） ＝ １．２５×１０-10（ｓ）
　　　　　　　 第１励起状態：　3Ｓ1 （ｊ ＝ 1、ｌ ＝ 0、ｓ ＝ 1）　→　３γ、　τ（３γ） ＝ １．４１×１０-7（ｓ）
　　 電磁相互作用により光子 ｎ 個 に崩壊する分岐幅 は、α＜＜1 から、より少ない光子を放出する分岐が中心になる。基底状態から光子へ崩壊する場合、進行方向のスピン成分が ±２、０ の場合しかないので ｊ ＝ 0、2 の状態しかありえない。したがって、基底状態 ｊ ＝ 0 の 1Ｓ0 からは光子２個へ崩壊する。
　　崩壊幅（＝単位時間に反応が起こる率＝平均寿命の逆数）は、　　であり、光子２個出すので に比例し、複合粒子の中で電子と陽電子が重なる確率 ｜ψ（0）｜2 に比例する。

　　＊　物質の基本粒子：

　　これまで高エネルギー加速器を使用して行なわれたすべての素粒子実験の結果は、標準模型による予言と一致している。現在のところ、物質の基本粒子は、次の通りに分類（４タイプ、１７種類）されている。

　　　　�@　クォーク（６種）：　　　ｕ クォーク、 ｄ クォーク、 ｃ クォーク、 ｓ クォーク、 ｔ クォーク、 ｂ クォーク
　　　　�A　レプトン（６種）：　　　電子、 μ 粒子、 τ 粒子、 電子ニュートリノ、 μ ニュートリノ、 τ ニュートリノ
　　　　�B　ゲージ・ボソン（４種）：　　光子、 ウィーク・ボソン Ｗ（＝Ｗ粒子）、 ウィーク・ボソン Ｚ、 グルオン
　　　　�C　ヒグス・ボソン（１種）：　　ヒグス・ボソン

　　このうち、光子、ウィーク・ボソン、グルオンは、それぞれ、電磁相互作用、弱い相互作用、強い相互作用のゲージ・ボソンである。（ヒグス・ボソンは、質量の原因となる湯川相互作用を媒介する粒子。標準模型ではニュートリノはヒグス・ボソンと反応しないので、ニュートリノの質量は 0 だと仮定する。）


　　＊＊　対称性について：

　　並進や回転などの座標変換は変換行列によって行なわれる。
　　・　正則な ｎ × ｎ 行列 Ａ が、　　を満たす直行行列の全体を 直交群 Ｏ（ｎ）、　　を満たすユニタリー行列全体を ユニタリー群 Ｕ（ｎ） と呼び、さらに、Ａ の行列式　ｄｅｔ Ａ ＝ １　のとき、それぞれ特殊直交群 ＳＯ（ｎ）、特殊ユニタリー群 ＳＵ（ｎ） という。
　　回転行列はベクトルの長さを変えないので ｄｅｔ Ａ ＝ １ の特殊直交行列である。　任意の ３×３ 特殊直交行列は ３次元回転を与える。 ｚ 軸、ｘ 軸、ｙ 軸の周りの回転はそれぞれ、
　　　　　　　　　　　　であるが、積についての交換は、　
　　　　　[Ａｘ、Ａｙ] ≡ ＡｘＡｙ - ＡｙＡｘ ≠ 0　などとなって、非可換。（掛ける順序によって答えが違う。 ｃｆ． ２次元回転は積について可換）　３次元回転の全体は ＳＯ（３）。

　　・　複素数：　大きさが １ の複素数 　の全体 Ｇ は 掛け算について群をつくる。
　　　であり、　 が成り立つから、Ｇ はユニタリー群であり、複素数は １×１ 行列とみなせるから、この群は Ｕ（１） である。

　　・　ＳＯ（３）の生成子：　ＳＯ（３）群の任意の元 ｇ は ３×３ の直交行列で表わされ、行列 Θ を用いて、　で定義される。Θ は ３×３ の反対称行列　　であり、　　とおいて、
　　　　　で表わされる。

　　・　スピン空間：　非相対論的量子力学では、電子の波動関数は２成分スピノル　　であり、 ψ1、ψ2 をそれぞれ複素２次元ベクトル空間の座標とみなすことができる。このスピン空間における回転　ψ → ψ’ ＝ Ｖψ　（Ｖ は２×２の複素数行列）は、
　　 より となって Ｖ はユニタリーであるから、ψ → ψ’ ＝ Ｖψ の全体は Ｕ（２）をつくる。

　　・　アイソスピン対称性：　２種類のクォーク ｕ と ｄ を、１つの粒子 ｑ の電荷が異なる状態とみなすならば、場 ｕ（ｘ）、ｄ（ｘ）を１組にまとめて、
　　　　　　　と表わすことができ、ｕ、ｄ を複素２次元空間（内部空間）の座標とみなすことができる。
　　アイソスピン空間における座標変換　ｑ → ｑ’ ＝ Ｕｑ　についても、Ｕ は ２×２ のユニタリー行列であり、変換 Ｕ の全体は 群 Ｕ（２）をつくる。
　　パウリ行列と全く同じ形のエルミート行列　　を用いて、
　　　と表わすことができる。パウリ行列 σｉ がスピン空間 （ψ1、ψ2）Ｔ 上に作用するのに対し、このユニタリー行列 τ はアイソスピン空間 （ｕ、ｄ）Ｔ 上に作用する。

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