相対性理論の詳細

　１．　特殊相対性理論の原理；

　　　　　　　　速度一定の任意の系（慣性系）において、
　　　　　（1）　そこから観測される真空中の光速 c は一定
　　　　　（2）　その系のすべての物理法則は同様に成り立つ

　２．　特殊相対性理論の展開；
　1）　ロレンツ変換；

　観測者がＳ系にいて、被観測量がＳ’系にあり、Ｓ’系はＳ系に対して ＋ ｘ方向に速度 ｖ で動いているとする。
　Ｓ’系で　ｘ’=0　の点は Ｓ系から見れば　ｘ = ｖｔ　、　Ｓ’系で　ｘ’=-ｖｔ’　の点は Ｓ系から見れば　ｘ=0　になるので、
　　　　　　　ｘ’ = 0 = β（ｘ − ｖｔ）
　　　　　　　ｘ = 0 = γ（ｘ’＋ ｖｔ’）
　と置ける。
　この式より、ｘ’=β（ｘ−ｖｔ）、ｔ’=（ｘ−γｘ’）/ｖ = （（1−βγ）ｘ＋βγｖ ｔ）/ｖ を、時空の性質
　　　　　
に代入して、
　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・　（座標間の変換則）
　したがって、Ｓ’系に固定したＸ軸に平行の棒の長さ Ｌ0＝ Ｘ2’−Ｘ1’は、Ｓ系から見て、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　のように短く見える。
　また、Ｓ系上で　Ｘ0に置いた時計が　Ｔ1、Ｔ2　をさした時、Ｓ’系では　Ｔ1’、Ｔ2’をさしているから、Ｓ’系のものは　Ｓ系のものに比べ、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　倍も時間を経るように見える。

　　　　（＊　合成速度の定理、質量のロレンツ変換、電磁場のロレンツ変換、電磁波方程式のロレンツ不変性などは省略）

　2）　質量公式；

　Ｓ系（観測系）における速度は一定とはかぎらずＳ系上の時間 t によるものとすると、速度ベクトルは、
　　　　　　　　
　ロレンツ変換は　　が不変な変換であるから、
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　とおけば、τはロレンツ不変（証明略）。

　４元速度：　
　　　　　　
　のように定義すると、
　　　　　　
　両辺をτで微分すれば、
　　　　　　
　両辺をｍ0倍して4元速度の式を代入すれば、
　　　
　と置けば、
　　　　　　　　
　ｔ　で微分すれば、
　　　　　　　　　　　　　　
　ｕ ＝ 0　の時、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（静止質量のエネルギ−）

　３．　一般相対性理論および重力理論；

　1）　等価原理；

　重力と慣性力の等価を仮定するもので、ニュ−トン力学における絶対時空中の重力ではなく、重力を曲がったリーマン空間における計量テンソル（10個のｇｉｋ、ｉ、ｋ=1〜4）に取り込んで、三次元と時間の４元パラメ−タによって幾何学的に表現するものである。

　2）　アインシュタインの重力場の方程式；

　重力場φのポアソン式　△φ＝−４πＧρ　（△・・・ラプラシアン）による表現の一般化を行なうと、
　　　　　　　　　　　　　　
　Ｔｉｋは物質分布とエネルギ−分布で決まる量である。

　3）　重力方程式の解；

　アインシュタインの重力方程式は相対論の研究者らによっていくつかの解が与えられた。

　�@）　弱い重力場での解（近似解）；

　　　　　　　　　

　この式の例証は、1．水星の近日点移動（�刄ﾆ＝ 43"/100年）、　２．太陽重力場による光線の曲がり（�刄ﾆ＝ 1.75ｓｅｃ）、３．メスバウアー効果による地球重力場での時間の遅れの測定によって与えられた。

　�A）　シュワルツシルド解（厳密解）；
　無限遠の観測者による、球対称の質点のまわりの重力場に対するもので、
　　　

　（ｃｆ）．ミンコフスキー時空の同じ条件の式と比べると係数がどのように変わっているかがわかる。
　　　

　�B）　カー解（厳密解）；
　回転を含む解。
　　　　

　方程式の解の質点付近の様子からブラックホールが予想される。シュワルツシルドのブラックホールは、�@）　Ｒｓの外部からＲｓに近づくと、ｔ → ∞、 光の振動数ν→ 0 になる。
　　 �A）　Ｒｓの内部の事はあくまでも数式上の事で、実証不可能。（数式上は、ｃｔ と ｒ が入れ替わる）

　　　　　　　　　　　　

　�C）　他の解；

　　　�@　カート・ゲーデルの解；　非因果律的解で、時間がリング状になっている。
　　　�A　ＮＵＴ解；　高次元でのらせん形の解でタイムトラベル可能？、別版の時空の存在。

　これらは、理論上のものだけに過ぎず、現実ではない。（微分方程式などは、境界条件と初期条件によって実際には存在しない解をも作る事ができる性質のものであることに注意。その人の思想が盛り込まれてしまう場合がある。）

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