３．　不確定性原理　



　　不確定性関係は、ハイゼンベルクが1927年に γ 線顕微鏡の思考実験より提唱したものであるが、現在は、ほとんど自然界における基本的な”原理”の一つになっている。（アインシュタインが生涯これを否定したのは有名。）　不確定性原理は、観測全般にかかわる原理で、その後構築された量子力学によって、すべての正準共役な物理量の間で成り立つことが導かれた。格子原子の零点振動、スピンのゆらぎなどは この不確定性関係が具体的に現れる例である。



　　（１）　座標表示と運動量表示：


　　粒子の座標、あるいは、運動量を対角線的にする表示が非常によく用いられる。
　　ここで、１個の粒子の１次元の運動を想定し（３次元でも同じこと）、ｑ、ｐ を、次の交換関係を満たす作用素として定義し直す。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　ただし、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｌ： ラグランジアン）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・（3−1）

　　　　�@）　座標 ｑ の固有状態を基底ベクトルとする場合；

　　 の固有状態（座標が確定している場合）の固有値 ｑ’を
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・（3−2）
　　のように導入する。
　　固有値 ｑ’ が −∞から＋∞までとれる 連続固有値ならば、射影作用素の総和
　　　　　　　は　　　　に書き直され、したがって、
　　任意の固有状態 ｑ’’に対し、　　　　となる。
　　直交定理より、　　のとき　　。

　　ここで、ディラックの δ関数（＊） 、すなわち、
　　　　　　　　　　　　・・・・（3−3）
　　（ただし ｆ（ｘ） は滑らかな関数） を導入すると、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・（3−4）

　　（3−2）、（3−4）を満たす固有ベクトル系 ｌ ｑ’〉 について、　の行列表示 を求めると、
　　　　　　　　　　　　　　　　

　　次に、 の行列表示を求めると、 と との交換関係の式（4−1）を 〈 ｑ’ｌ、ｌ ｑ’’〉 で挟んで、
　　右辺 ＝
　　左辺 ＝
　　　　　　　　　　　　　　　　∴　　
　　この両辺に 滑らかな関数 ｆ（ｑ’） をかけて ｑ’ で積分すると、
　　　　　　　　　　　これを満たすのは、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・（3−5）
　　でなければならない。

　　したがって、任意の状態ベクトル ｌ　〉 の座標表示は、シュレディンガーの波動関数 ψ そのもの、
　　　　　　　　　　　　　　　　　すなわち、　　　　であるから、
　　（3−5）より、
　　　・・・（3−6）

　　このように、交換関係より、状態ベクトルの式からシュレディンガー方程式が導かれた。 は、座標の測定値が ｑ’ と ｑ’＋ ｄｑ’ との間にある確率密度を与える確率振幅である。


　　　　�A）　運動量 ｐ の固有状態を基底ベクトルとする場合；

　　�@）と同様に、ｐ の固有状態は、　
　　行列表示は、　　
　　交換関係より、　
　　　　　　　　　　　　
　　運動量の固有値 ｐ’ をもつ状態 ｌ ｐ’〉 （運動量が一定）の座標表示における波動関数　　を求めると、
　　　　
　　　　より　　　　　（ 変数分離型 → ｅｘｐ関数 ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　　　　　　　　・・・・（3−7）

　　ｌ ｐ’〉 は運動量が一定の状態（自由粒子）だから、自由粒子の空間における存在確率の振幅が ド・ブロイ波と一致する。

　　未定の関数 Ｃ（ｐ’） は、ｌ ｐ’〉 を規格化すると決まる：
　　　　
　　この積分を求めるために ある滑らかな関数 ｆ（ｘ） とその フーリエ変換を、
　　　とおくと、　その逆変換は、　
　　上式に代入して、　
　　δ 関数の式（3−3）と比較すると、　　　　（δ関数の積分表示の一つ）。これを使うと、
　　
　　　の左辺に代入すると、
　　左辺 ＝
　　これを　右辺と比較すると、　　∴　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・（3−8）



　　（２）　不確定性関係：


　　�@　運動量の固有状態 ｌ ｐ’〉 を座標の固有状態で展開すると（運動量が正確に決まっている場合：）、

　　　　　　　

　　この状態で、右辺のｌ ｑ’〉 の係数は、粒子の位置が ｑ’から ｑ’＋ ｄｑ にある確率 Ｐp’（ｑ’）ｄｑ’ を与える確率振幅だから、　　　であって ｑ’ によらない。 自由粒子（運動量が一定）の存在確率は、全空間にわたって同じであり、位置が一定の状態を 同じ重みで重ね合わせたものになる。

　　�A　座標一定の状態 ｌ ｑ’〉 を運動量の固有状態で展開すると（位置が正確に決まっている場合：）、

　　　　　　　

　　係数は 運動量が ｐ’から ｐ’＋ ｄｐ’ にある確率 Ｐｑ’（ｐ’）ｄｐ’ を与える確率振幅だから、　　となり ｐ’ によらない。　位置座標が一定の状態で運動量を測定したとすると、あらゆる値が同じ確率で得られる。


　　�B　さて、 現実の場合、たとえば 実験室的なエネルギーレベルの粒子線は、運動量は中心値のまわりに １％程度の広がりがあり、その空間的な広がりは 数ｃｍ程度である。このように、一般に、運動量と位置は 分布をもってその広がりが存在し、粒子は 波束 の状態である。
　　１次元の１個の粒子を考え、位置の広がりが幅 �凾� で与えられている波束であり、平均の位置の座標を原点にとり、進行方向に ガウス型の分布（幅 �凾� は標準偏差 ＝ σ ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　をもっているとする。
　　波束の状態ベクトルを ｌ Ｗ 〉 とすると、座標の固有値が ｑ’ であるような状態 ｌ ｑ’〉 で展開したときの確率振幅は、
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・（3−9）


　　とおける。　ＣＷｑ は複素数の定数で、その絶対値は、
　　
　　ガウス積分の公式　　より、
　　　　　　　　　　　　∴　　　・・・（3−10）

　　この状態において 運動量 を測定した場合、得られる測定値は固有値 ｐ’ のどれかであり、それぞれの得られる確率の確率振幅は、
　　　　　　　　　　　　　　であり、　　（3−7）、（3−8）によって、
　　　　　　　　　　　　　となる。
　　指数関数の指数は ｑ’の項で分け、
　　　［　　］ 内を積分変数にとり置換積分すると
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・（3−11）
　　これは（3−9）と同じ形なので、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・（3−12）
　　と書ける。
　　（3−11）と（3−12）の冪を比較すると、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　　　　　　　　　　　　　・・・・・（3−13）

　　すなわち、　有名な ハイゼンベルクの不確定性関係の式が導かれる。
　　あるいは、（3−11）、（3−12）の係数を比較することによっても得られる。　ＣＷｐ は（3−10）と同様に、
　　　　　　　

　　このように、ある物理量が互いに非可換であるならば、それらの間には 不確定性関係があり、その具体的な形は 正準共役な座標と運動量の間の 交換関係から決まる。



　　＊　　ディラックの δ関数：

　　　　　　　　で定義される。
　　ただし、ｆ（ ｘ ） は滑らかな関数。　δ関数は超関数の一つで、それ自身では意味を持たず ｆ（ ｘ ） との積の積分の形で用いられる。　δ関数の性質を挙げると、
　　　　　　　



　　（３）　ユニタリー変換：


　　２．（４）において、可換な 物理量の完全系の固有状態を用いて、状態と作用素を表現した。
　　さらに、もっと一般的に、２つの非可換な物理量 、 について、それぞれの固有値と固有状態を、
　　Ｑ1、Ｑ2、・・・、ＱＮ；　ｌ Ｑ1 〉、ｌ Ｑ2 〉、・・・、ｌ ＱＮ 〉；　Ｐ1、Ｐ2、・・・、ＰＮ；　ｌ Ｐ1 〉、ｌ Ｐ2 〉、・・・、ｌ ＰＮ 〉　とおく。　　任意の状態 ｌ　〉 に対し、Ｑ 表示 〈 Ｑｉ ｌ　 〉 と Ｐ 表示 〈 Ｐｊ ｌ　 〉 との間には、
　　 をそれぞれ Ｑ 表示、Ｐ 表示での確率振幅、 を表示を変換する 変換行列 Ｕ の要素として、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・（3−14）
　　転置行列を で定義すると、 Ｕ のエルミート共役な行列 は、
　　　　　　　　　同様に、　　より、
　　行列 Ｕ は、　　　　すなわち、　　　　を満たす。（Ｕ： ユニタリー行列）
　　Ｑ 表示、Ｐ 表示の変換を ユニタリー変換と呼ぶ。

　　作用素 の行列要素の変換は、
　　　　　　　　　・・・・（3−15）
　　　　として、　（3−14）、（3−15） を行列で表現すると、　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　と書ける。
　　互いに正準共役な座標と運動量の交換関係　　　の左辺を 作用素 とおけば、
　　　　　　　　　　　　　　
　　となって、交換関係はユニタリー変換によって変わらない。



　　（４）　状態の時間発展：


　　量子力学の確率的現象の背後には、重ね合わせの原理を満たす 状態ベクトルが存在し、これが 時間的に一意的に変化すると考えられる。時刻 ｔ における状態ベクトルを　ｌ Ａ、ｔ 〉、ｔ より未来の時刻 ｔ’ における状態ベクトルを ｌ Ａ、ｔ’〉 とすると、ｌ Ａ、ｔ’〉 は ｌ Ａ、ｔ 〉 によって決っているはずである。
　　重ね合わせの原理により、
　　　　　　　　　　　　　　　が Ａ、Ｂ、Ｒ の ３つのモードで成り立ち、
　　重ね合わせの原理が継続するために この関係は 任意の時刻 ｔ’ においても
　　　　　　　　　　　　　　　のように成り立たなければならない。
　　この関係を 線形作用素を使って表すと、
　　同様に、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・（3−16）
　　となり、 は対象系と ｔ、ｔ’ にはよるが 系の運動モード Ｐ にはよらない。
　　時刻 ｔ’ におけるモード Ｐ の存在確率 は、
　　　であるから、
　　任意の ｔ、 ｔ’ に対し、
　　　　　　　　　　　
　　であり、 はユニタリー作用素である。
　　したがって、すべての状態の時間発展は、（3−16）に従ってユニタリーに行われる。

　　有限の時間間隔における時間発展は、無限小の時間間隔における変化の積み重ねであるとする。（これは近接作用の原理とも関係している。）　ｔ’ が ｔ に無限に近い極限を考えると、
　　　　　　
　　ここで、 　より　　のように展開すると、ユニタリー条件から、
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　 （反エルミート作用素）
　　これを用いて　 　とおくと　 はエルミート作用素であり、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・（3−17）
　　より、無限小の時間発展を表す作用素になっている。
　　（3−7）のように、　、
　　　　　　　　　　　　　　　とおくと、
　　　　　　　　　　
　　となって、Ｈ をハミルトニアンとすると この式は、 シュレディンガ−方程式
　　　　　　　　　　そのものである。したがって、（3−17）の無限小時間発展作用素 としてハミルトニアンを採用する。

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