５−２　　複素積分の実例：


　　複素平面上における積分路積分を考えるとき、コーシーの積分定理が用いられる。このとき、正則な関数は 第１定理により項が消去され、特異点を含むものは第２定理の式が適用され、結局、虚数項が皆消えてしまう！。
　　聖霊様が働かれて、”実”が残る！。　
　　（複素積分の理論については、５−3 ”コーシーの積分定理”参照）

　　（１）
　　　　　　について、　右図のような積分路 Ｃ をとる。

　　�@　Ｃ の実軸部に沿って、　　ｚ ＝ ｘ
　　�A　半円周の弧に沿って　、　
　　　　　　　ｘ ＝ Ｒ 　のとき、　θ ＝ 0　、　ｘ ＝ −Ｒ　　のとき、　θ ＝ π
　　これは、　Ｒ → ∞　の極限の場合に対し、ａ と ｂ （正の定数）をもつ。

　　�@と�Aの積分路の積分に分けると、
　　　　　　　　　　

　・ 左辺は、
　　　　　　　　

　　この第２項は、 ｚ ＝ −ｉ ｂ の特異点は 図より Ｃ の外側にあるから、この領域で関数は正則なので、コーシーの第１定理より、＝ ０　となる。

　　第１項は、 ｚ ＝ ｉ ｂ の特異点は、 ｂ ＜ Ｒ → ∞　で 常に Ｃ の内側にあるようになるので、コーシーの第２定理
　　　　　　　　　で　　、　ｚ0 ＝ ｉ ｂ　とおいた場合だから、
　　　　　　　　

　・　右辺は、第２項（θ の積分の項）
　　　　　　　　　　は、 Ｒ → ∞ で ０ に収束する。（＊）

　　したがって、右辺の第１項だけが残り、さらにオイラーの関係式より、
　　　　　
　　ここで 実・虚等値より、この第２項（ｓｉｎ の項）は ＝ 0　になる。
　　結局、最後まで残ったのは、両辺とも実部のみで、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・　（ａ 、ｂ は正の実数）
　　特に、 ａ ＝ １、 ｂ ＝ １　のとき、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　これは、重要な神のメッセージを含み、数学の基本定数 ｅ　、π と ∞ を含む単純でエレガントな式である。
　　（ → ７．）


　　＊　
　　　　　　　が　 Ｒ → ∞　で　０ に収束することの証明：


　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｂ2 を消して、
　　　　　　　　　　　　　より、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オイラーの関係式より、
　　　　　　　　　　　　　より、
　　　　　　　
　　ここで　θ が ０ から π で 常に　　より、
　　　　　　　

　　（２）　　コーシーの第１積分定理による フレネル積分の導出：


　　　　　を図の楔形の積分路で解く。

　　　実軸正の方向に沿って　　　　ｚ ＝ ｘ 、 ｄｚ ＝ ｄｘ 、
　　　１/４ 円弧に沿って　　　　　　ｚ ＝ Ｒｅｘｐ（ｉθ）、 ｄｚ ＝ ｉ Ｒｅｘｐ（ｉθ）ｄθ、
　　　戻る直線に沿って　　　　　　 ｚ ＝ （１+ ｉ）ｘ 、 ｄｚ ＝ （１+ ｉ）ｄｘ

　　ｆ（ｚ） は全複素平面で正則であるので、コーシーの第１定理より、
　　
　　右辺の第１項は、
　　　　　　　　であることが知られている。（ガウス積分の半分、５．の（１）より）
　　第２項は、Ｒ → ∞ で ０ になる。（＊＊）

　　したがって、第３項については オイラーの関係式より、
　　　　　　
　　実虚等値すると、
　　　より、

　　変数を θ2 ＝ ２ ｘ2　とおくと、
　　　　　　　　　　∴　　　　　（フレネル積分）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　・・・・・　５の（２）の結果と同じ）


　　　＊＊　　　Ｉ　＝　（右辺 第２項）　とおくと、
　　
　　　　　　φ ＝ ２θ　におきかえると、　　　　

　　　　　　ここで 図より、 φ が ０ から π/２ の間で、直線　ｙ ＝ （２/π）（π/２-φ） ＝ １ − （２/π）φ　が　ｙ ＝ ｃｏｓ φ よりも常に下にあるので、

　　　　　
　　　　

　　（３）
　　　　　　ただし ｎ、ｍ は非負の整数　　について解く。

　　被積分関数の特異点は、　円分方程式　　　　の解で、 ド・モアブルの定理より、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・　１）
　　の ２ ｎ 個あって、複素平面の単位円周上を分割している。

　　　（１）と同様に 半径 Ｒ、角度 0 から π の半円形の積分路をとると、
　　　　　　　

　　右辺第２項は　ｎ ＞ ｍ　より、　Ｒ＾2ｎ 　は少なくとも　 Ｒ＾（2ｍ＋1）　よりも 1次多いので、 Ｒ → ∞ のとき 0 になる。したがって、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・　２）

　　ここで 左辺について、
　　被積分関数の部分分数展開として書くと、２ ｎ 個の 特異点はすべて 1次であって、
　　　　　　　　　　　　　・・・　３）
　　とおける。 ここで、　Ｎｊ は定数とおく。
　　積分路は 上半分の半円なので、積分を 上半分と下半分にある特異点によって分けると、
　　　　　　　
　　ｚｎ から ｚ2ｎ‐1 までの特異点は、積分路の外部にあるので、 コーシーの第１定理より すべて 0 になる。
　　また、 ｚ0 から ｚn-1 までの特異点は、積分路の内部のあるので、
　　コーシーの第２定理の ｆ（ｚ） ＝ １ 、 ｆ（ｚ0） ＝ １　とおいた場合で、
　　　　　　　より、　　　　・・・　４）

　　N ｐ　、　0 ＜＝ ｐ ＜＝ ｎ−１　とおく。　３） に　（ｚ − ｚｐ） をかけて、すなわち、
　
　　において、　ｚ → ｚｐ　とすると　右辺の　Ｎｐ 以外の項は すべて 0 になるから、
　　　　　　　　　　　　

　　ここで、 ロピタルの規則　　ｌｉｍｘ→ｘ0 　ｆ（ｘ）/ｇ（ｘ） ＝ ｌｉｍｘ→ｘ0　 ｆ’（ｘ）/ｇ’（ｘ）　　より、分子、分母をそれぞれ微分した極限は、
　　　　　　　　　　　　
　　ｚｐ に　１） を代入して、
　　　　　
　　したがって、 ２） ４） より、
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　この総和は　　を 公比とする 幾何級数になっているから、オイラーの関係式を用いて整理し、
　　　　　　　　　　　　　　が導かれる。
　　したがって、　　　　　　、　ｎ ＞ ｍ　　・・・　５）
　　５）式で、　α ＝ ２ ｍ ＋ １、 β ＝ ２ ｎ　とおけば、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（一般的な形）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　・・・・　　オイラーの反射式を導くのに用いられた式（５−1（４）））となる。
　　５）式で、　ｍ ＝ 0、 ｎ ＝ １　のとき、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（よく知られた積分）
　　　　　　　　ｍ ＝ 0、 ｎ ＝ ２　のとき、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（５−3（４）の結果と同じ）　などとなる。

　

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