１． オイラーの関係式：
数学は、客観的な論理感覚や計量や幾何学について、”思索”が完全に純化されたものです。
オイラーの関係式は、歴史上発見された数学上の基本定数、π（円周率）、ｅ（自然対数の底（てい））、ｉ（虚数単位（＝√-１））をすべて含む、恐らく史上で最もエレガントな関係式です。
このように、数学の基本定数（π、ｅ、ｉ、−１）そのものが、独立した存在ではなく、一つの単純な関係式にすべて含まれ、相互に関連し合っている事は実に驚くべき事です。論理構造の根底がこのようになっている事が示されているからです。
（＊ 数学者オイラーは、”私はこの式の意味はわからない。しかし、論理的に導かれたから真理であるはずだ”と言った。レオンハルト・オイラー（Euler）1707‐1783、スイス人、牧師の息子で17歳で神学学士、最後の17年間は完全に盲目だった。神の三位一体をうまく説明できなかったからか。
また、オイラーの公式があまりにもエレガントなので、−１の定義をこの式から出発しようという数学者もいるくらいである。）
それぞれの構成要素を見てみましょう。
（１） 円周率（π）
円周率は、アラビアや中国でも古くから発見されていたように、人間の思索で考えやすい、直感的で分かりやすい、子どもでもわかる概念です。これは、直線に対しての丸いものの比率から来ています。その比率は無理数で、
π＝３．１４１５９２６５３５８９７９３２３８４６・・・・
のように無限に続きます。（アラビアでは３．１４、中国では３．１６とされていた） そして、たとえば、半径 ｒ に対して、円周の長さ ｌ ＝ ２πｒ、円の面積 Ｓ ＝ πｒ2、球の体積 Ｖ ＝ ４/３πｒ3 のように用いられます。
πは、なんとなく”丸っこい形象”すべてのイメージ、思索、哲学に関わるものです。イメージとしては、円、球、楕円、三角関数、回転、振動、周期、正弦波、軌道、スピン、繰り返し、表面張力、；極座標、測量、原子の構造、太陽、宇宙の広がり、求心的な力の創造主、；ビッグバン（？）、；歴史は繰り返す、万物は流転する（？）、転生輪廻（？）、；丸い性格（？）、丸く収める（？）、夫婦円満（？）、・・・・。
仏教哲学やヒンドゥー教の哲学、禅、中国の道教、ニューエイジの思想、さらには、仏教哲学の影響を受けた物理学や宇宙論も、このπに関わる思索によるものでしょう。（自分を神とする事＝別のπを定めることが”原罪”）
しかし、自然界や思索における基本数はこれだけでは終わりませんでした。
（２） 自然対数の底（ｅ）
πに比べてこの ｅ は、１８世紀に入ってから発見されました。発見がこんなに遅れたのは、非常に分かりにくい所に隠されていたからです。
しかしこの数は非常に重要で、その名の通り、自然の性質を表す基準、また限界値として、自然の中に随所に現れます。 ｅ は、万物を、いわゆる自然的な性質に創り上げる要素になります。
ｅ のイメージとしては、限界、収束・発散の分岐点、０と∞の中間点、たわみ、微積分に対して不変、；コンデンサーの充電・放電、自然にぶら下がっているもの、；マクロな性質、統計学、統計力学、分布の基本形、電子雲の確率分布、存在に幅を持たせるもの、；自然な分布、自然な成り行き、自然にだらりとしたもの、；十字架からぶら下がっている死体、肉の死、リラックス、；生と死の分岐点、天国と地獄の分かれ目、さばき、・・・・。
また、数列の総和で表すと、
、 ｎ！は階乗であり、 ｅ ＝ ２．７１８２８１８２８４５９０４・・・・・ という無理数に収束する。
ｃｆ． たとえば、
などは、∞に発散指数関数
は、 数列の和 
によって表される。指数関数は ｅｘｐ ｘ とも記述する（工学でよく用いられる）
その逆関数は、 自然対数 ｙ ＝ ｌｎ ｘ ＝ ｌｏｇ ｅ ｘ
逆数の積分は、自然対数になる。
また、
は、ｘで何回微分、または何回積分しても同じ形を保つ。
この性質は重要で、後に述べる電磁波、すなわち光の永続的進行を表現するのに用いられる。
また、双曲線関数
とおけば、
これは、自然に紐をぶら下げた形や梁のたわみ、レンズの干渉縞などの形になる。
（３） 虚数単位（ ｉ ）
ｉ （＝ √-１）は２次方程式の解として複素数（ａ+ｉｂ）が導入されたものですが、３次以上の高次方程式の解でも ｉ で事足りる、すなわち、複素数を係数とするｎ次方程式は、複素数の範囲でｎ個の解を持つ事が発見されました。（ガウス1799） この虚数単位 ｉ という数は、大きさを持たず、全く直感できない数ですが、他の係数との演算において非常に重要な役割を持ち、ｉ が消えて実数に収束する場合があります。
ｉ のイメージとしては、超越数（ｅ、π）どおしの関係付け、似ても似つかない三角関数と指数関数の変換、直交、次元の支配、電場と磁場の直交、角度と長さとの間の変換、；いのち、復活、背後にある創造主、思いもよらない所からの奇跡、；この世に無いもの、幽霊（？）、別の次元空間（？）、・・・・。
指数関数に虚数単位を入れると、ｵｲﾗｰの関係式が導かれる。
したがって、三角関数は虚数冪の指数関数で表される。
このように、虚数単位 i は、πで代表される三角関数と、ｅで代表される指数関数をつなげるものとなる
§ 超越数に収束する実例： 必ず、ｅ、π、ｉ に関わっている。（超越数とは、どんな整係数の代数方程式の根になり得ない数）
特に、３番目の式はπとｅの冪ではなく商の形になっていて、コーシー積分（複素積分）より導かれたもの
§ グラフ：
